Übung: Lineare Funktionen

Realschule Bayern • Klasse 9 II/III
Aufgabe A1
4 Punkte
Zeichne die beiden Geraden $g$ und $h$ in das Koordinatensystem ein ($x, y \in \mathbb{Q}$):
$g: y = \frac{1}{2}x - 2$
$h: y = -2x + 1$
Tippe zwei Punkte für die blaue Gerade g an.
x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0
Musterlösung:
• Gerade $g$: $y$-Achsenabschnitt $t = -2 \Rightarrow (0 \mid -2)$. Steigung $m = \frac{1}{2}$ (2 nach rechts, 1 nach oben $\Rightarrow (2 \mid -1)$).
• Gerade $h$: $y$-Achsenabschnitt $t = 1 \Rightarrow (0 \mid 1)$. Steigung $m = -2$ (1 nach rechts, 2 nach unten $\Rightarrow (1 \mid -1)$).
Aufgabe A2
1 Punkt
Gegeben ist die Gerade $g$ mit $y = 3x - 5$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Kreuze die dazu parallele Gerade an:
Musterlösung:
Parallele Geraden besitzen die identische Steigung ($m_1 = m_2$). Da $g$ die Steigung $m = 3$ hat, ist nur die Gerade mit $y = 3x + 2$ parallel.
Aufgabe A3
3 Punkte
Im Koordinatensystem sind die Geraden $k$ (blau) und $m$ (rot) abgebildet ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Lies die beiden Geradengleichungen ab und trage sie ein:
x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0 k m
Musterlösung:
• Gerade $k$: Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0 \mid -3) \Rightarrow t = -3$. Weiterer Punkt $(2 \mid 1) \Rightarrow m = \frac{1 - (-3)}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$.
$\Rightarrow k: y = 2x - 3$

• Gerade $m$: Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0 \mid 2) \Rightarrow t = 2$. Weiterer Punkt $(2 \mid 1) \Rightarrow m = \frac{1 - 2}{2 - 0} = -\frac{1}{2} = -0{,}5$.
$\Rightarrow m: y = -0{,}5x + 2$
Aufgabe A4
2 Punkte
Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = 2x - 8$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Berechne die Nullstelle der Geraden $g$.
Musterlösung:
Für die Nullstelle setzt man $y = 0$ ein:
$$0 = 2x - 8 \quad \vert + 8$$ $$8 = 2x \quad \vert : 2$$ $$x = 4$$ Die Nullstelle liegt bei $x = 4$ bzw. $N(4 \mid 0)$.
Aufgabe A5
2 Punkte
Der Punkt $P(-3 \mid y_P)$ liegt auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y = -4{,}5x + 7$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Berechne die $y$-Koordinate $y_P$.
Musterlösung:
Setze die gegebene $x$-Koordinate $x = -3$ in die Geradengleichung ein:
$$y_P = -4{,}5 \cdot (-3) + 7$$ $$y_P = 13{,}5 + 7 = 20{,}5$$ $\Rightarrow P(-3 \mid 20{,}5)$
Aufgabe A6
3 Punkte
Die Gerade $g$ verläuft durch die Punkte $P(2 \mid -1)$ und $Q(6 \mid 7)$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Berechne die Gleichung der Geraden $g$.
Musterlösung:
1. Steigung berechnen:
$$m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{7 - (-1)}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$ 2. Punkt $P(2 \mid -1)$ einsetzen zur Ermittlung von $t$:
$$-1 = 2 \cdot 2 + t$$ $$-1 = 4 + t \quad \vert - 4$$ $$t = -5$$ $\Rightarrow g: y = 2x - 5$
Aufgabe A7
2 Punkte
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $P(8 \mid 1)$ und besitzt den $y$-Achsenabschnitt $t = -3$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Berechne die Gleichung der Geraden $g$.
Musterlösung:
Punkt $P(8 \mid 1)$ und $t = -3$ in die allgemeine Geradengleichung $y = mx + t$ einsetzen:
$$1 = m \cdot 8 - 3 \quad \vert + 3$$ $$4 = 8m \quad \vert : 8$$ $$m = 0{,}5$$ $\Rightarrow g: y = 0{,}5x - 3$
Aufgabe A8
3 Punkte
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = -\frac{1}{2}x + 4$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Die Gerade $s$ steht senkrecht auf $g$ ($s \perp g$) und verläuft durch den Punkt $P(3 \mid 2)$.
Berechne die Gleichung der Geraden $s$.
Musterlösung:
1. Orthogonalitätsbedingung: $m_g \cdot m_s = -1$
$$-\frac{1}{2} \cdot m_s = -1 \Rightarrow m_s = 2$$ 2. Punkt $P(3 \mid 2)$ und $m_s = 2$ in $y = mx + t$ einsetzen:
$$2 = 2 \cdot 3 + t$$ $$2 = 6 + t \quad \vert - 6$$ $$t = -4$$ $\Rightarrow s: y = 2x - 4$
Aufgabe A9
4 Punkte
Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = 2x - 3$ ($x, y \in \mathbb{Q}$).
Kreuze alle wahren Aussagen an:
Musterlösung:
• Wahr: Parallele Geraden haben identische Steigung ($m = 2$).
• Wahr: $2 \cdot 0 - 3 = -3 \Rightarrow P(0 \mid -3)$ liegt auf $g$.
• Falsch: $2 \cdot 2 - 3 = 1 \neq 5 \Rightarrow Q$ liegt nicht auf $g$.
• Wahr: $2 \cdot (-2) - 3 = -7 \Rightarrow R(-2 \mid -7)$ liegt auf $g$.
• Wahr: Senkrecht, denn $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$.
• Falsch: $2 \cdot (-2) = -4 \neq -1$.
• Wahr: Punkt $S(3 \mid 3)$ einsetzen:
$g: 2 \cdot 3 - 3 = 3$ (wahr), $p: -3 + 6 = 3$ (wahr). Beide Geraden gehen durch $S$.